VUELVE LA RATA DE TEGUCIGALPA:GENERALIZACION
Creado el 15 enero, 2011 por Jbaldrich
Como explica JEAN PIERRE ALEM,en un congreso de ratoncitos mayas se planteó establecer una fórmula general que diera el camino recorrido en función de datos más clásicos….se planteó así:un ratón parte de uno de los vértices de un polígono regular de n lados y perímetro 2p,que constituye la base de una pirámide igualmente regular de altura h y se desplaza de una cara a otra en una dirección perpendicular a la arista opuesta…Qué distancia habrá recorrido al llegar al vértice de la pirámide?
“Nuevos juegos de ingenio”,Jean Pierre Alem ,Ed. Gedisa,
Archivado en: Matemáticas...aburridas?
La diferencia con el ejercicio anterior es que el lado de la base de la pirámide, en lugar de medir 162 decímetros, pasa a medir “2p/n” (el perímetro entre el lado de caras), y la altura de 360 pasa a medir “h”
Con lo cual, aplicando la fórmula anterior, la distancia recorrida por la rata será de la altura de la pirámide entre el perímetro y esto multiplicado por la raíz cuadrada del perímetro al cuadrado mas el cuadrado del doble del producto de la altura por el número de caras. Esto es: (Altura/Perímetro)*raíz{Perímetro^2+(2*Altura*Caras)^2}
O utilizando y simplificando las letras del enunciado , teniendo en cuenta que el perímetro es 2P
(H*raíz{P^2+H^2*N^2})/P
Espero que se entienda algo, que esto de escribir fórmulas en texto plano, tiene su aquel
NaCl U2 Yo!
Goyo…si me mandas un archivo con algun dibujito,publico tu respuesta como entrada…a ver si hay otras soluciones…por cierto,dice ALEM que si n se hace infinita,es decir si el polígono de la base es una circunferencia y la pirámide en un cono,al construir los mayas templos cónicos,las ratillas no habrían llegado nunca aq la cima de esos templos…estáis de acuerdo?
Cuando n tiende a infinito la rata de tegucigalpa recorerá una hélice cónica, que le debe pasar algo similar a la loxodrónica, tiene que tener un punto asintótico en el vértice del cono. Yo estoy mayor para estos calculos.
Os un par de páginas con información.
http://www.mathcurve.com/courbes3d/heliceconic/heliceconic.shtml
http://mathworld.wolfram.com/Concho-Spiral.html
En efecto, por eso dije en el primer mensaje sobre las ratas, que nunca lllegaria a la cima, pues es una serie infinita. SI la pirámide fuese un cono, como se orientaria la rata? Que dirección tomaría para ir perpendicular a la arista? y ya puestos, que tipo de queso les gustaría a las ratas de tegucigalpa?
NaCl U2 Yo!
Seguro que si toman “pinol” subirán y bajaran por el cono que dará gusto verlas.
JM
Como es tarde y la rata no me deja dormir, escribiré algo más aquí -pido disculpas por anticipado por los errores y por todo lo que no sea inteligible:
Nota1: Creo que GoYo asumió que ´h´ da la medida de la altura de la cara de la pirámide y no de la pirámide misma. Como es práctico, lo he mantenido también en mis cálculos.
Notación: L, h, 2p/n se refieren resp. a las longitudes de los lados, de la altura y de la base del triangulo isósceles (en la cara de la pirámide) y ß se refiere al angulo entre los dos lados del triangulo.
La distancia recorrida ´d´ desde el vértice de sálida hasta la cúspide es (al cuadrado)
d^2 = L^2 (sin ß / 1- cos ß) ^2
= (h^2+p^2/n^2) * (sin ß / (1- cos ß)) ^2
Para n (suf.) grandes,
i) el cociente ´p´ entre ´n ´ al cuadrado se puede despreciar en comparación con ´h´ al cuadrado
(p/n)^2 +h^2 ~ h^2
ii) el ángulo ß se hace (suf.) pequeno y podemos aproximar el seno y el coseno por los primeros términos de su desarrollo en serie de potencias, eso es
sin ß ~ ß
cos ß ~ 1 – ß^2 / 2
con lo cual
1 – cos ß = 1 – (1-ß^2 /2) = ß^2 /2
sustituyendo,
d^2 = h^2 * (2ß/ ß^2)^2 = 4 h^2/ß^2
Observación: Para n tendiendo a infinito, es decir, si nos acercamos a la base circular (suponiendo que el problema se pueda reformular rigurosamente) la distancia a recorrer tiende también a infinito (con lo cual nuestra rata se queda sin queso?)
Creo que el problema se puede reformular para el cono (base circular), considerando triángulos de base infinitesimal -a los físicos e ingenieros les entusiasma jugar con ellos- o bien -para matematicos- dando el angulo constante entre la trayectoria de la rata y la linea de curvatura (ppal) sobre el cono.